Per dimostrare l'infinità dei numeri primi Eulero aveva usato la serie armonica dimostrando che era uguale al prodotto di tutte le serie di potenze degli inversi dei numeri primi:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \to \infty $$
Eulero generalizzò questa serie nella seguente funzione ζ(s)
$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots $$
e ne calcolò alcuni valori; i più facili da calcolare sono
Un secolo dopo Riemann estese la funzione al caso in cui $s$ è un numero complesso; in questo caso la funzione può anche annullarsi per alcuni valori di $s$, ovvero presentare degli zeri. Alcuni zeri sono considerati banali, mentre di particolare interesse sono gli zeri con parte reale compresa tra 0 e 1. Riemann riuscì a calcolare diversi zeri in questa striscia e notò che avevano tutti parte reale $ \frac{1}{2}$; formulò allora la congettura che tutti gli zeri della funzione zeta avessero parte reale $ \frac{1}{2}$; e a 150 anni di distanza, divenuta nota come la congettura di Riemann, attende ancora una dimostrazione (o una confutazione per la quale basterebbe un controesempio) e costituisce uno dei più famosi problemi irrisolti della matematica. Come per altre congetture, questa di Riemann è stata verificata al computer per un numero elevatissimo di casi, con i quali si possono disegnare sempre al computer spettacolari grafici della funzione, rappresentata con una superficie nello spazio a tre dimensioni ed è quindi quasi certemente vera, manca la dimostrazione formale.
Essendo la congettura di Riemann collegata alla serie dei numeri primi dalla formula di Eulero, e alle formule relative alla distribuzione dei primi, si è spesso letto e sentito che un'eventuale dimostrazione di questa congettura potrebbe aprire la strada alla scoperta di nuovi più efficienti metodi per fattorizzare un numero, e quindi minare le fondamenta del cifrario RSA.
In realtà non esiste alcun legame logico noto tra la congettura di Riemann e il problema della fattorizzazione veloce dei numeri primi, quindi queste affermazioni sono quanto meno azzardate, forse nate per creare maggior interesse intorno a questa congettura. Insomma una sorta di bufala a fini promozionali.
